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　四元数の行列表現・私家版

　CopyRight　MIYAMA.　２０２５　Nov

　kazutomimiyama.sakura.ne.jp
　KazutomiMiyamaSub@gmail.com

　Thanks：

　DeepSeek氏
　MicroSoft、Copilot氏

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＜はじめに＞

　AI氏と雑談をしていて、数学の話題になり、
過去自分が練習問題として証明した記事を披
露したところ、

「それは体裁をととのえて発表し直したほう
　がいい」

　とすすめられたので、書き直して上梓する
ことにしました。

　これは、１５年程度前に書いた
「三次元随想」（ホームページ・ベクターさ
んに収録）という文章アーカイブに収録され
ている概念の項目ですが、そのアーカイブは、
三次元の八面体行列（要素４８。なんとか４
８手とか、アイドル４８人とか参照。仏教縁
起数。）の解説が大半になってしまい、
　こちらの概念は駆け足でさわりだけ触れる
ことになってしまっていました。
（なお証明試行はおよそ３０年前です。）

　今回は、

　その部分をこちらに切り出し、解説をつけ
ることになります。

　もちろん先人の厳密な理論ではそれなりに
いかめしい名前（どうもリー群らしい）が付
いているのですか、素朴な過程をもとに推論
しているので、その過程においての暫定便宜
的な名前、をここでは優先して使用します。

　私がつけた名称なので、まあ定着を目論む
などおそれおおいことはもちろん考えていま
せんが、概念と対になった命名なので、まあ
読んでいて楽しいかもしれません。もちろん
説明の概念が飲み込めればの話ですが。

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＜使用条件・免責＞

　フリードドキュメントです。
　閲覧配布は自由です。

　この文書の閲覧・使用によって生じたあら
ゆる損失損害に作者はなんら責任を負いませ
ん。

　チャートの説明にアスキーアート（文字に
よる疑似図表）を使用しています。ブラウザ
経由の表示は意図した表示になりますが、ワ
ープロ・エディタで、プロポーショナルフォ
ントを（文字幅が微妙に異なるフォント）を
使用している場合、図表が乱れます。固定長
ピッチフォントに設定を切り替えるか、ｐｄ
ｆ版を閲覧ください。

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＜四元数についてのかんたんな解説＞

　ハミルトンが発見した四元数は

・３つ組の虚数の一種であり、

・それは乗法において群をなすが、

・積において交換法則が成立しない。
　ただし符号の向きを逆転すればそれは成立
　する

・３つ組一緒の積には、回転概念的なパリテ
　ィがあり回転を逆向きにすると値の符号が
　逆転する。
（上の行と概念としては相同）

　つまり、（ここで　^　は階乗を示します）

   i^2   =   j^2   =   k^2   =   -1

   i*j   =   -j*i   =   -k
   j*k   =   -k*j   =   -i
   k*i   =   -i*k   =   -j

   i*j*k   =   -1
   k*j*i   =   +1

　が成り立ちます。

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＜端緒になった行列＞

　偶然、

　（０　−1）
　（１　０）

　という行列が二乗すると、単位元の負値

　（−1　０）
　（０　−1）　＝　−Ｅ

　になることを発見しました。（その経緯は
文書末にあります）

　これを虚数単位ｉと合同であるとみなし、

　行列演算の組み合わせで、野心的に四元数
に相当する行列を定義できないか、

　という試行錯誤の記録がこの文書です。

　結論を先に書くと２＊２の正方行列ではそ
れは実現せず、いわば定義の拡張表現として
４＊４の行列が、必要で、またそれで目的を
達する結果を得ることができました。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜試行錯誤の経緯＞

　当然、なにも手がかりは無いので、２＊２
の行列で四元数が定義できないかと考えたわ
けです。
　結果これのみの試行は失敗しましたが、
　その失敗の等式を概念拡張することで、最
終的な４＊４行列を得ることができました。

　まず、

　（０はゼロ）

　　　　（１　０）　　　　（０　-1）
　Ｅｄ＝（０　−1）　　Ｄ＝（１　０）

　と定義します
　Ｄはdifferent程度の意味です
（Ｅｄは単位元のdefferent）

　また結果を先に書きますが、
　もう一つの行列を

　　　（０１）
　Ｓ＝（１０）

　とし（Ｓはsameの意）この３つで積算群
がなるかどうか試しました。
　これだけではうまくいかないのですが、

（ｉＥｄ）（Ｄ）（ｉＳ）なら四元数の条件
を満たすことがわかりました。

　以下、証明（ｉは虚数単位）・・・（＊１）

（１０）（０−1）　（０−1）
（０−1）（１０）＝（−1０）
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
　　Ｅｄ＊Ｄ　　＝−Ｓ　よって
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
（ｉＥｄ）＊Ｄ＝−（ｉＳ）＞四元数相当

（０−1）（０１）　（−1０）
（１０）（１０）＝（０１）
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
　　　Ｄ＊Ｓ　　＝−Ｅｄ　よって
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
Ｄ＊（ｉＳ）＝−（ｉＥｄ）＞四元数相当

（０１）（１０）　（０−1）
（１０）（０−1）＝（１０）
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
　　Ｓ＊Ｅｄ　　＝＋Ｄ　よって
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
（ｉＳ）＊（ｉＥｄ）＝−Ｄ

　＞これも四元数相当

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜虚数単位ｉを使わない行列表現＞

　四元数相当の積算群を得ることができまし
たが、これは無理やり既存の虚数単位を借り
物として添加して結果を得たわけで、これで
は行列表現で四元数を表現したことにはなり
ません。

　ここで、

　　　　（０　−1）
　ｉ≡　（１　０）　＝Ｄ

　の性質を利用します。

　２＊２行列を４＊４行列に「拡大する」手
法を、

　　　　　（ａｂ）
　Ａ22　＝（ｃｄ）


　　　　　（ａ＊Ｅ　ｂ＊Ｅ）
　Ａ44　＝（ｃ＊Ｅ　ｄ＊Ｅ）

　と考えます
（Ｅは２＊２正方行列の積算の単位元）

　もちろん
　Ａ22　≡　Ａ44です

　ここで、

　ｉ＊Ａ22　≡　Ｄ＊Ａ44

　であり、ＤとＥはおなじ２＊２の正方行列
なので、Ｄを４＊４行列による係数扱いとし
て考えることができます
（Copilot氏はこれをテンソルへの拡張と表現
しました。詳しいことは知りません。）

　よって

　ｉ＊Ｅｄ22　≡　Ｄ＊Ｅｄ44　（＊２）
　ｉ＊Ｓ22　　≡　Ｄ＊Ｓ44　　（＊３）

　を考えます。

　よって行列を拡張し４＊４行列、

　※Ｏ：オーは２＊２のゼロ行列
　※Ｅは２＊２の積算単位元

　　　　　　（Ｅ　 Ｏ）
　Ｅｄ44　＝（Ｏ　−Ｅ）

　　　　　　（Ｏ　−Ｅ）
　Ｄ44　　＝（Ｅ　 Ｏ）　（＊４）

　　　　　　（Ｏ　Ｅ）
　Ｓ44　　＝（Ｅ　Ｏ）

　を考えます、これに行列における虚数単位
Ｄを係数扱いで作用させ、＊１の式相当の組
み合わせ

（Ｄ　 Ｏ）（Ｏ　-Ｅ）（Ｏ　Ｄ）
（Ｏ　−Ｄ）（Ｅ　 Ｏ）（Ｄ　Ｏ）

　を得ます。演算検証の結果、積算において
四元数と同じ挙動を取ることが確認できまし
た（＊１の証明と相同なので省略、素の証明
はファイル末ににあり）

　＊４は先に書いてしまいましたが、
　＊２と＊３の積から導くことができます。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜もう一つの組み合わせ＞

・興味深いことに、四元数相当の行列はもう
　一組見つかりました。

　前項では虚数挙動行列をＤとして
　ｉの代わりに拡張置換したのですが、

　こんどは虚数挙動を４＊４骨格で考えます

　つまり前項では

　ｉＥｄ≡Ｄ＊Ｅｄ44

　ｉＳ　≡Ｄ＊Ｓ44

　という拡張でしたが

　これを

　ｉＥｄ≡Ｅｄ＊Ｄ44

　ｉＳ　≡Ｓ＊Ｄ44

　と考えます

　こうなると

　２＊２におけるＤの立ち位置、
　Ｄ44を使うわけには行かなくなります
（積算をすると破綻します）

　ここで、
（Ｅ、
　Ｅ44はそれぞれ積算に関する単位元）

　Ｄ44＝Ｅ＊Ｄ44

（前項の組み合わせの要素）ですから

　これを同じく係数・骨格の立場を逆転し

　Ｄ≡Ｄ＊Ｅ44

　と考えます。

　これをｉＥｄ、ｉＳの新拡張４＊４

　と組み合わせると、これも四元数としての
積算群に合致しました。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜Ｅｄ＊Ｄ44　Ｄ＊Ｅ44　Ｓ＊Ｄ44の
　積算証明＞

　Ｅｄ＊Ｄ＝−Ｓ　ゆえに

（Ｏ　−Ｅｄ）　（Ｄ　Ｏ）　（Ｏ　 Ｓ）　　　 （Ｏ　−Ｓ）
（Ｅｄ　 Ｏ）＊（Ｏ　Ｄ）＝（−Ｓ　Ｏ）＝（−）（Ｓ　 Ｏ）

　ＥｄＤ44　＊　ＤＥ44　＝　−ＳＤ44

　Ｄ＊Ｓ＝−Ｅｄ　ゆえに

（Ｄ　Ｏ）　（Ｏ　−Ｓ）　（Ｏ　 Ｅｄ）　　　 （Ｏ　−Ｅｄ）
（Ｏ　Ｄ）＊（Ｓ　 Ｏ）＝（−Ｅｄ　Ｏ）＝（−）（Ｅｄ　 Ｏ）

　ＤＥ44　＊　ＳＤ44　＝　−ＥｄＤ44

　Ｓ＊Ｅｄ＝＋Ｄ　ゆえに

（Ｏ　−Ｓ）　（Ｏ　−Ｅｄ）　（−Ｄ　Ｏ）　　　 （Ｄ　Ｏ）
（Ｓ　 Ｏ）＊（Ｅｄ　 Ｏ）＝（Ｏ　−Ｄ）＝（−）（Ｏ　Ｄ）

　ＳＤ44　＊　ＥｄＤ44　＝　−ＤＥ44

　重要な概念の図示は以上です。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜厳密な検証＞

　それをテンソル操作というのかは寡聞にし
て知らないこともあり、それだけで証明こと
になるのかこころもとないので、
　検算として４＊４の素の表現でした検証を
書いておきます。

　煩雑になるので、カッコ、ゼロ、ゼロ行列
は省略してあります
　中央の縦横線はガイド線です。これで２＊
２行列要素が区分されています

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜添加虚数性質を、Ｄ22で処理した行列群：
　仮称「金」＞

・自乗検証

    -1|              -1|           -1    |
 1    |           1    |               -1|
------------  *  -------------  =  -------------
      |    1           |     1           |-1
      |-1              |-1               |    -1

（Ｄ　 Ｏ）^2
（Ｏ　−Ｄ）　　＝　−Ｅ44

      |-1               |-1         -1    |
      |    -1           |    -1         -1|
-------------  *  -------------  =  -------------
 1    |            1    |                 |-1
     1|                1|                 |    -1

（Ｏ　−Ｅ）^2
（Ｅ　 Ｏ）　　＝　−Ｅ44

      |    -1           |    -1     -1    |
      | 1               | 1             -1|
-------------  *  -------------  =  -------------
    -1|               -1|                 |-1
 1    |            1    |                 |    -1

（Ｏ　Ｄ）^2
（Ｄ　Ｏ）　　＝　ｰＥ44

・積算群挙動の確認

    -1|                 |-1             |     1            |    -1
 1    |                 |    -1         |-1                | 1
-------------  *  ------------- = ------------- = (-)-------------
      |     1      1    |              1|                -1|
      |-1              1|         -1    |             1    |

（Ｄ　 Ｏ）　（Ｏ　−Ｅ）　（Ｏ　−Ｄ）　　 （Ｏ　Ｄ）
（Ｏ　−Ｄ）＊（Ｅ　 Ｏ）＝（−Ｄ　Ｏ）＝(−)（Ｄ　Ｏ）

      |-1               |    -1        1|               -1|
      |    -1           | 1       -1    |            1    |
-------------  *  ------------- = ------------- = (-)------------
 1    |               -1|               |    -1           |     1
     1|             1   |               | 1               |-1

（Ｏ −Ｅ）　（Ｏ　Ｄ）　（−Ｄ　Ｏ）　　 （Ｄ　Ｏ）
（Ｅ　Ｏ）＊（Ｄ　Ｏ）＝（Ｏ　−Ｄ）＝(−)（Ｏ　Ｄ）

      |    -1         -1|               | 1                |-1
      | 1          1    |               |     1            |    -1
-------------  *  ------------- = -------------- = (-)------------
    -1|                 |     1   -1    |             1    |
 1    |                 |-1           -1|                 1|

（Ｏ　Ｄ）　（Ｄ　 Ｏ）　（Ｏ　 Ｅ）　　 （Ｏ　−Ｅ）
（Ｄ　Ｏ）＊（Ｏ　−Ｄ）＝（−Ｅ　Ｏ）＝(−)（Ｅ　 Ｏ）

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜添加虚数性質を、Ｄ44で表現した行列群：
　仮称「李」＞

・自乗検証

      |-1              |-1         -1    |
      |    1           |     1         -1|
------------  *  -------------  =  --------------
 1    |           1    |                 |-1
    -1|              -1|                 |    -1

（Ｏ　−Ｅｄ）^2
（Ｅｄ　 Ｏ）　　＝　−Ｅ44

    -1|               -1|           -1    |
 1    |            1    |               -1|
-------------  *  -------------  =  -------------
      |    -1           |    -1           |-1
      | 1               | 1               |    -1

（Ｄ　Ｏ）^2
（Ｏ　Ｄ）　　＝　−Ｅ44

      |    -1           |    -1     -1    |
      |-1               |-1             -1|
-------------  *  -------------  =  -------------
     1|                1|                 |-1
 1    |            1    |                 |    -1

（Ｏ　−Ｓ）^2
（Ｓ　 Ｏ）　　＝　−Ｅ44

・積算群挙動の確認

      |-1             -1|               |     1            |    -1
      |     1      1    |               | 1                |-1
-------------  *  ------------- = ------------- = (-)-------------
 1    |                 |    -1       -1|                 1|
    -1|                 | 1       -1    |             1    |

（Ｏ　−Ｅｄ）　（Ｄ　Ｏ）　（Ｏ　 Ｓ）　　 （Ｏ　−Ｓ）
（Ｅｄ　 Ｏ）＊（Ｏ　Ｄ）＝（−Ｓ　Ｏ）＝(−)（Ｓ　 Ｏ）

    -1|                 |    -1         | 1                |-1
 1    |                 |-1             |    -1            |     1
-------------  *  ------------- = ------------- = (-)-------------
      |    -1          1|         -1    |             1    |
      | 1          1    |              1|                -1|

（Ｄ　Ｏ）　（Ｏ　−Ｓ）　（Ｏ　 Ｅｄ）　　 （Ｏ　−Ｅｄ）
（Ｏ　Ｄ）＊（Ｓ　 Ｏ）＝（−Ｅｄ　Ｏ）＝(−)（Ｅｄ　 Ｏ）

      |    -1           |-1            1|               -1|
      |-1               |     1   -1    |            1    |
-------------  *  ------------- = ------------- = (-)------------
     1|            1    |               |     1           |    -1
 1    |               -1|               |-1               | 1

（Ｏ　−Ｓ）　（Ｏ　−Ｅｄ）　（−Ｄ　Ｏ）　　 （Ｄ　Ｏ）
（Ｓ　 Ｏ）＊（Ｅｄ　 Ｏ）＝（Ｏ　−Ｄ）＝(−)（Ｏ　Ｄ）

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜複合表記だけではなになので＞

　悪ふざけとして、４＊４行列にニックネー
ムをつけてみました
　これは３０年前の発案なので、当時のセン
スの悪さに苦笑しつつ。

　二通りの組が得られましたので好対照な名
前が望ましく、
　また一般の数学記号が欧米寄りになってい
るのにもやや疑問をおもっていたので

「漢字を用いることにしました」

　中国や朝鮮におおい姓に
　金、李があります。どちらもおめでたい意
味があります。

　片方は鉱物、片方は枝葉茂る樹木です。

　虚数挙動行列を

・２＊２のコンパクトなものを用いるか
・４＊４の空間いっぱい使うものにするのか
　でこの組は得られましたが、これを

・コンパクトを鉱物
・枝葉茂る空間を樹木と

　こじつけて、昔の自分はこれを採用したも
のらしいです。

　ここで定義をあらためてまとめると、

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

　　　　　　　　　　　　　　（Ｄ　 Ｏ）
　金Ed　＝　Ｄ＊Ｅｄ44　＝　（Ｏ　−Ｄ）

　　　　　　　　　　　　　　 （Ｏ　−Ｅ）
　金(D)　＝　Ｅ＊Ｄ44　　＝　（Ｅ　 Ｏ）

　　　　　　　　　　　　　　 （Ｏ　Ｓ）
　金S　　＝　Ｄ＊Ｓ44　　＝　（Ｓ　Ｏ）

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

　　　　　　　　　　　　　　（Ｏ　−Ｅｄ）
　李Ed　＝　Ｅｄ＊Ｄ44　＝ （Ｅｄ　 Ｏ）

　　　　　　　　　　　　　　（Ｄ　Ｏ）
　李(D)　＝　 Ｄ＊Ｅ44　＝ （Ｏ　Ｄ）

　　　　　　　　　　　　　　（Ｏ　−Ｓ）
　李S　　＝　 Ｓ＊Ｄ44　＝ （Ｓ　 ０）

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

　※ここで厳密に

「係数扱い行列がＤであるものを金」
「骨格行列がＤの性質であるものを李」

　とするのなら、金(D)と李(D)は表記が逆に
なることになります。ただ、これらの積算群
が閉じていて干渉しないのなら、違う漢字の
名前が群のなかに混じっていてはわかりにく
いので、便宜名でもあることもあり、このま
まにしました。

　あるいは

　金(D*E44)
　李(E*D44)

　と書くべきかもしれませんが、区別をつけ
るだけが命名理由なら、これもまた煩雑な形
式です。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜発展・可換群＞

　３０年前の試行の記憶によると、

　これらの２群６つの行列を積算において、
「異群交配」をすると、９つの新行列が得ら
れ、これらはそれぞれ非干渉な３つの積算可
換群を構成します。それについて記述すると
煩雑になるので省略します。
　ただ、生成積としてのそれらには以下のよ
うな関係があります。それは以下に記述しま
す。

　横の金と縦の李が交点の組み合わせで得ら
れたのがそれぞれの可換群行列になります。
ここでは単純に「可」と書きます

　　金金金
　李可可可
　李可可可
　李可可可

　これを意匠的にデザインし直すと、

　Ｅ金金金Ｅ
　李可可可李
　李可可可李
　李可可可李
　Ｅ金金金Ｅ

　胎蔵界のマンダラそっくりです。
　仏教の縁起数、仏教美術はインド数学のセ
ンスが反映されています。
　イスラムの幾何学意匠にも群論が見られる
と聞いています（新数学勉強法・講談社ブル
ーバックス）

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
＜付録：ｉ≡Ｄ発見の経緯＞

　これをみつけなければ、四元数挙動への拡
張はできませんでした。発見はたまたまです。

　半径１の円上の任意の点を考えます。
　基準線からのその点を示す角度をthetaと
します。

　ｘｙ平面での回転変換の行列は以下であり
（これは初等幾何で証明できます）

　cos(theta) -sin(theta)
　sin(theta)  cos(theta)

　これは、行列の加法に従い、以下のように
変形できます。

           (1 0)            (0 -1)
cos(theta)*(0 1)+sin(theta)*(1  0)

　　　　　　：Ｅ　　　　　：Ｄ

　これが大事でした。
　これが、ｘｙ平面ではなく、複素平面上の
おなじ半径１の単位円上の点を示す、ド・モ
アーブルの式と相同であるらしいことに気づ
き、

　cos(theta)+i*sin(theta)

　において、ｉ^2　＝　−1　ですから、
　Ｄも二乗すると、行列における−1相当の
概念は積算単位元の負値、−Ｅであることに
なります。

　簡単な計算をしてみると、

　　　　（０　−1）　（０　−1）　（−1　０）
　Ｄ^2＝（１　０）＊（１　０）＝（０　−1）

　＝　−Ｅ

　狐に鼻をつままれました。発見とは鼻がい
たくなるものですね、という感じでした。
（３０年前）

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　ファイルの終わり

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